New concepts for real quantifier elimination by virtual substitution

Quantifier elimination methods for real closed fields are an intensively studied subject from both theoretical and practical points of view. This thesis studies quantifier elimination based on virtual substitution with a particular focus on practically applicable methods and techniques. We develop a novel, stand-alone, and modular quantifier elimination framework for virtual substitution that can in principle be extended to arbitrary but bounded degrees of quantified variables. The framework subsumes previous virtual substitution algorithms. Quantifier elimination algorithms are obtained via instantiation of our quantifier elimination algorithm scheme with three precisely specified subalgorithms. We give instantiations of our scheme up to degree three of a quantified variable, which yields a quantifier elimination algorithm by virtual substitution for the cubic case. Compared to previous virtual substitution-based approaches, we propose novel improvements like smaller elimination sets and clustering. Furthermore, we exploit the Boolean structure and develop a structural quantifier elimination algorithm scheme. This allows us to take advantage of subformulas containing equations or negated equations, simplify virtual substitution results, and develop flexible bound selection strategies. We also revisit the established technique of degree shifts and show how to generalize this within our structural quantifier elimination algorithm scheme. Restricting ourselves to existential problems, we address the established concept of extended quantified elimination, which in addition to quantifier-free equivalents yields answers for existentially quantified variables. We show how to realize this concept within our quantifier elimination algorithm scheme. Moreover, we generalize our post-processing method for eliminating nonstandard symbols from answers to the general case. Our implementation of most of the concepts developed in this thesis is the first implementation of a cubic virtual substitution method. Experimental results comparing our implementation with the established original implementation of the quadratic virtual substitution in the Redlog computer logic system demonstrate the relevance of our novel techniques: On more than two hundred quantifier elimination problems---considered in more than sixty scientific publications during the past twenty years---we never eliminate fewer quantifiers than the Redlog's original implementation. For a considerable number of problems we eliminate more quantifiers.Quantoreneliminationsverfahren für reelle abgeschlossene Körper sind sowohl von der theoretischen als auch von der praktischen Seite ein intensiv studiertes Thema. Diese Dissertation befasst sich mit Quantorenelimination basierend auf virtueller Substitution. Im Mittelpunkt stehen praktisch anwendbare Methoden und Techniken. Wir entwicklen ein neues, unabhängiges und modulares Quantoreneliminationsrahmenkonzept für virtuelle Substitution, das im Prinzip auf beliebige Grade von quantifizierten Variablen erweitert werden kann. Unser Rahmenkonzept subsumiert existierende auf virtueller Substitution beruhende Algorithmen. Konkrete Algorithmen enstehen als Instanzen unseres Quantoreneliminationsalgorithmusschemas mit drei genau spezifizierten Subalgorithmen. Wir präsentieren Instanzen bis zu Grad drei einer quantifizierten Variable. Die liefern einen Algorithmus beruhend auf virtueller Substitution für den kubischen Fall. Im Vergleich mit anderen Verfahren basierend auf virtueller Substitution präsentieren wir zahlreiche Verbesserungen wie etwa kleinere Eliminationsmengen oder Clustering. Außerdem nutzen wir die Boolsche Struktur aus und entwickeln ein strukturelles Quantoreneliminationsalgorithmusschema. Somit können wir Gleichungen oder negierte Gleichungen ausnutzen, Ergebnisse der virtuellen Substitution vereinfachen und flexible Schrankenauswahlstrategien entwickeln. Wir studieren auch die bekannte Technik des degree shifts, die in manchen Fällen den Grad der quantifizierten Variablen reduzieren kann. Wir zeigen wie man diese Technik in unserem Quantoreneliminationsalgorithmusschema realisiert und verallgemeinert. Für reelle existentielle Probleme diskutieren wir das Konzept der erweiterten Quantorenelimination, die zu quantorenfreien Äquivalenten auch Antworten für die quantifizierten Variablen liefert. Wir zeigen wie sich dieses Konzept in unserem Quantoreneliminationsalgorithmusschema realisieren lässt. Zusätzlich verallgemeinern wir unser Postprocessingverfahren zur Elimination von Nichtstandardsymbolen aus Antworten. Unsere Implementierung unterstützt die meisten in dieser Arbeit vorgestellte Konzepte und stellt damit die erste Implementierung einer kubischen Methode basierend auf virtueller Substitution dar. Praktische Rechenexperimente, in denen wir unsere Implementierung mit bekannten im Computerlogik-System Redlog implementierten Verfahren für quadratische virtuelle Substitution verglichen, zeigen die Relevanz unserer Techniken: Auf mehr als 200 in mehr als sechzig wissenschaftlichen Publikationen beschriebenen Quantoreneliminationsproblemen eliminiert unsere Implementierung niemals weniger Quantoren als die existierende Implementierung in Redlog. Für eine signifikante Anzahl von Problemen können wir sogar mehr Quantoren eliminieren

New concepts for real quantifier elimination by virtual substitution

Quantifier elimination methods for real closed fields are an intensively studied subject from both theoretical and practical points of view. This thesis studies quantifier elimination based on virtual substitution with a particular focus on practically applicable methods and techniques. We develop a novel, stand-alone, and modular quantifier elimination framework for virtual substitution that can in principle be extended to arbitrary but bounded degrees of quantified variables. The framework subsumes previous virtual substitution algorithms. Quantifier elimination algorithms are obtained via instantiation of our quantifier elimination algorithm scheme with three precisely specified subalgorithms. We give instantiations of our scheme up to degree three of a quantified variable, which yields a quantifier elimination algorithm by virtual substitution for the cubic case. Compared to previous virtual substitution-based approaches, we propose novel improvements like smaller elimination sets and clustering. Furthermore, we exploit the Boolean structure and develop a structural quantifier elimination algorithm scheme. This allows us to take advantage of subformulas containing equations or negated equations, simplify virtual substitution results, and develop flexible bound selection strategies. We also revisit the established technique of degree shifts and show how to generalize this within our structural quantifier elimination algorithm scheme. Restricting ourselves to existential problems, we address the established concept of extended quantified elimination, which in addition to quantifier-free equivalents yields answers for existentially quantified variables. We show how to realize this concept within our quantifier elimination algorithm scheme. Moreover, we generalize our post-processing method for eliminating nonstandard symbols from answers to the general case. Our implementation of most of the concepts developed in this thesis is the first implementation of a cubic virtual substitution method. Experimental results comparing our implementation with the established original implementation of the quadratic virtual substitution in the Redlog computer logic system demonstrate the relevance of our novel techniques: On more than two hundred quantifier elimination problems---considered in more than sixty scientific publications during the past twenty years---we never eliminate fewer quantifiers than the Redlog\u27s original implementation. For a considerable number of problems we eliminate more quantifiers.Quantoreneliminationsverfahren für reelle abgeschlossene Körper sind sowohl von der theoretischen als auch von der praktischen Seite ein intensiv studiertes Thema. Diese Dissertation befasst sich mit Quantorenelimination basierend auf virtueller Substitution. Im Mittelpunkt stehen praktisch anwendbare Methoden und Techniken. Wir entwicklen ein neues, unabhängiges und modulares Quantoreneliminationsrahmenkonzept für virtuelle Substitution, das im Prinzip auf beliebige Grade von quantifizierten Variablen erweitert werden kann. Unser Rahmenkonzept subsumiert existierende auf virtueller Substitution beruhende Algorithmen. Konkrete Algorithmen enstehen als Instanzen unseres Quantoreneliminationsalgorithmusschemas mit drei genau spezifizierten Subalgorithmen. Wir präsentieren Instanzen bis zu Grad drei einer quantifizierten Variable. Die liefern einen Algorithmus beruhend auf virtueller Substitution für den kubischen Fall. Im Vergleich mit anderen Verfahren basierend auf virtueller Substitution präsentieren wir zahlreiche Verbesserungen wie etwa kleinere Eliminationsmengen oder Clustering. Außerdem nutzen wir die Boolsche Struktur aus und entwickeln ein strukturelles Quantoreneliminationsalgorithmusschema. Somit können wir Gleichungen oder negierte Gleichungen ausnutzen, Ergebnisse der virtuellen Substitution vereinfachen und flexible Schrankenauswahlstrategien entwickeln. Wir studieren auch die bekannte Technik des degree shifts, die in manchen Fällen den Grad der quantifizierten Variablen reduzieren kann. Wir zeigen wie man diese Technik in unserem Quantoreneliminationsalgorithmusschema realisiert und verallgemeinert. Für reelle existentielle Probleme diskutieren wir das Konzept der erweiterten Quantorenelimination, die zu quantorenfreien Äquivalenten auch Antworten für die quantifizierten Variablen liefert. Wir zeigen wie sich dieses Konzept in unserem Quantoreneliminationsalgorithmusschema realisieren lässt. Zusätzlich verallgemeinern wir unser Postprocessingverfahren zur Elimination von Nichtstandardsymbolen aus Antworten. Unsere Implementierung unterstützt die meisten in dieser Arbeit vorgestellte Konzepte und stellt damit die erste Implementierung einer kubischen Methode basierend auf virtueller Substitution dar. Praktische Rechenexperimente, in denen wir unsere Implementierung mit bekannten im Computerlogik-System Redlog implementierten Verfahren für quadratische virtuelle Substitution verglichen, zeigen die Relevanz unserer Techniken: Auf mehr als 200 in mehr als sechzig wissenschaftlichen Publikationen beschriebenen Quantoreneliminationsproblemen eliminiert unsere Implementierung niemals weniger Quantoren als die existierende Implementierung in Redlog. Für eine signifikante Anzahl von Problemen können wir sogar mehr Quantoren eliminieren

Identifying the parametric occurrence of multiple steady states for some biological networks

We consider a problem from biological network analysis of determining regions in a parameter space over which there are multiple steady states for positive real values of variables and parameters. We describe multiple approaches to address the problem using tools from Symbolic Computation. We describe how progress was made to achieve semi-algebraic descriptions of the multistationarity regions of parameter space, and compare symbolic results to numerical methods. The biological networks studied are models of the mitogen-activated protein kinases (MAPK) network which has already consumed considerable effort using special insights into its structure of corresponding models. Our main example is a model with 11 equations in 11 variables and 19 parameters, 3 of which are of interest for symbolic treatment. The model also imposes positivity conditions on all variables and parameters. We apply combinations of symbolic computation methods designed for mixed equality/inequality systems, specifically virtual substitution, lazy real triangularization and cylindrical algebraic decomposition, as well as a simplification technique adapted from Gaussian elimination and graph theory. We are able to determine multistationarity of our main example over a 2-dimensional parameter space. We also study a second MAPK model and a symbolic grid sampling technique which can locate such regions in 3-dimensional parameter space.Comment: 60 pages - author preprint. Accepted in the Journal of Symbolic Computatio

Dataset supporting the paper: "A Case Study on the Parametric Occurrence of Multiple Steady States"

Dataset supporting the paper: Russell Bradford, James H. Davenport, Matthew England, Hassan Errami, Vladimir Gerdt, Dima Grigoriev, Charles Hoyt, Marek Košta, Ovidiu Radulescu, Thomas Sturm, and Andreas Weber. A Case Study on the Parametric Occurrence of Multiple Steady States. In Proceedings of ISSAC ’17, Kaiserslautern, Germany, July 25-28, 2017, 8 pages. ACM, 2017. https://doi.org/http://dx.doi.org/10.1145/3087604.3087622 Preprint: https://arxiv.org/abs/1704.08997 We provide all the accompanying material for the main symbolic computations in Section 2.1 ############### Section 2.1.1 ############### The computations were carried out within the following setting: 1. Compiled and functional Reduce system r3606 is available and the environment variable $trunk points to the trunk of Reduce source tree (e.g. ~/reduce-algebra/trunk). To compile and install Reduce see: http://redlog.eu/reduce-wiki/index.php/Installation 2. Compiled and functional QEPCAD B v1.69 is installed and it is possible to call QEPCAD from Reduce (via rlqepcad). To compile and install QEPCAD see: https://www.usna.edu/CS/qepcadweb/B/QEPCAD.html To reproduce the experiments reported in the paper go: ./generate-problems-onevar.py ./compute-all.sh --csl ~/reduce-algebra/trunk ./problems-onevar 4 ./einsetzen.sh A few notes BEFORE YOU RUN: 1. To try a different value of k19, edit the file solbiomod26.red. Currently we set k19 = 500. 2. It is advised to run these test on a multicore machine, e.g., we used 32 cores (the last argument of ./compute-all.sh script) for trying the 3^11 candidates (einsetzen.sh script). 3. The script generate-problems-assignmnets.py (called from einsetzen.sh) creates 3^11 test files! 4. The potential values to be tried using interval refinement are described as real algebraic numbers, i.e., pairs of polynomial and isolating interval. These numbers are stored in assignment files (assignment-<var>-<possibility#>) produced by ./gml-to-red.py (called from einsetzen.sh) ############### Section 2.1.2 ############### These computation were conducted in commercial Computer Algebra System, Maple 2016. We have included the Maple Worksheet file which is annotated to describe the calulations in detail. We also include a pdf printout of the worksheet which those without access to Maple can read